군(group)

군(group) (G,\cdot)이란 어떤 연산 \cdot이 정의된 집합 G으로, 다음 성질을 만족시키는 것입니다.

  • 결합법칙(associative law)이 성립합니다.
    • 즉, 각 g, h, k\in G에 대해 (g\cdot h)\cdot k = g\cdot(h\cdot k)가 성립합니다.
    • 결합법칙이 성립하므로, 여러 곱셈이 함께 있을 때, 괄호를 생략해도 됩니다. 예를 들어, 위의 곱셈같은 경우에 그냥 g \cdot h\cdot k으로 써도 됩니다.
  • 항등원(identity element)이 있습니다.
    • e가 항등원이라는 것은, 모든 g\in G에 대해 g\cdot e = e\cdot g = g라는 것입니다.
    • 항등원은 보통 e라고 씁니다. 경우에 따라서, 연산을 곱으로 생각할 때에는 1, 합으로 생각할 때에는 0으로 쓰기도 합니다.
    • 정의로부터, 항등원이 유일함을 쉽게 알 수 있습니다. 만약 e, e'이 항등원이라면, e=e\cdot e'=e'가 되기 때문입니다.
  • g\in G의 역원(inverse) g^{-1}이 있습니다.
    • g^{-1}가 g\in G의 역원이라는 것은, g\cdot g^{-1}=g^{-1}\cdot g=e라는 것입니다.
    • 역원 역시 유일한데, 만약 h, k가 모두 g의 역원이라면, 결합법칙에 의해 h = h\cdot e = h\cdot g\cdot k = e\cdot k = k이기 때문입니다.

위 정의를 보면 굉장히 추상적으로 느껴질 수 있습니다. 그런데 우리에게 굉장히 익숙한 군이 많이 있습니다. 간단한 예시로, (\mathbb{Z},+)이 있습니다. 정수는 덧셈으로 군이 됩니다. 항등원 0이 있고, 각 n\in \mathbb{N}에 대해 역원 -n이 있기 때문입니다. 다른 예시로 0이 아닌 실수들의 집합 (\mathbb{R}^\times, \cdot)이 있습니다. 곱셈에 대해서 이 집합은 군이 되는데, 1이 항등원이 되고, 각 실수 r\neq 0에 대해 역원 1/r이 있기 때문입니다.

또 다른 예시로는, (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+)이 있습니다. 이것은, 정수를 n으로 나누었을 때의 나머지들의 집합으로 생각할 수 있습니다. (m\in \mathbb{Z}n으로 나눈 나머지를 \bar{m}이라 씁시다.) 이것 역시 항등원 \bar{0}이 있고 각 \overline{m}에 대해 역원 \overline{-m}=-\overline{m}이 있어 잘 정의된 군이 됩니다. 사실, 이 군은 \mathbb{Z}를 부분군 n\mathbb{Z}로 나누어 만들어지는 군입니다. 이런 군을 몫군(quotient group)이라고 부릅니다.

수학에서는 항상 이렇게 어떤 특정한 성질을 만족시키는 대상을 정의한 다음에, 그 성질을 보존하는 함수에 대해 생각합니다. 군의 경우에, 만약 (G,\cdot)(H,\ast)가 군이라면, 두 군 사이의 함수 f:G\rightarrow H가 군의 연산을 보존할 때 동형사상(homomorphism) 혹은 군 동형사상(group homomorphism)이라고 부릅니다. 여기서 군의 연산을 보존한다는 것은, 각 g_1, g_2\in G에 대해 f(g_1 \cdot g_2) = f(g_1)\ast f(g_2)임을 의미합니다.

군 (G,\cdot)이 교환법칙을 만족시킨다면, 즉 각 g_1, g_2\in G에 대해 g_1\cdot g_2 = g_2\cdot g_1이라면, 군 G아벨군(abelian group)이라 부릅니다.

원소의 개수가 유한개인 군을 유한군(finite group)이라 부릅니다. 유한군은 단순할 것 같지만, 실제로 복잡한 유한군도 많이 있습니다. 유한한 아벨군은 쉽게 분류할 수 있습니다. (유한생성 아벨군의 기본정리(fundamental theorem of finitely generated abelian groups)에 의해 분류됩니다. 이에 따르면, 모든 유한생성 아벨군은 \mathbb{Z}n\mathbb{Z}들의 곱으로 표현됩니다.)

반면, 비아벨군(nonabelian group)의 경우, 훨씬 복잡합니다. 유한군은 단순군(simple group)이라는 작은 군들로 나누어 생각할 수 있습니다. 마치 정수를 소수들의 곱으로 나눌 수 있는 것과 비슷합니다. 수학자들은 2004년에 이르러서야 마침내 유한 단순군(finite simple group)을 모두 분류하는 데 성공했는데, 그것이 바로 유명한 ‘유한군의 분류(classification of finite simple groups)‘입니다. 이 기념비적인 결과는 백여명의 수학자들이 오랫동안 연구해온 결과이며, 증명을 모두 모으면 대략 15,000페이지가 된다고 합니다.

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