기저(basis)와 차원(dimension)

 

basis

F 위의 벡터공간 V에서 S\subseteq V의 선형결합(linear combination)이란 어떤 c_1, \cdots, c_k\in F, v_1, \cdots, v_k\in S에 대해 c_1v_1+\cdots+c_kv_k와 같은 형태를 의미합니다. (선형결합은 오직 유한 합임을 유의하세요.)

그리고 S\subseteq V생성(span)이란, S를 포함하는 V 안의 가장 작은 부분벡터공간을 의미합니다. 이것은, S를 포함하는 V의 모든 부분벡터공간들의 교집합과 같습니다. 또, S의 선형결합들을 모아놓은 집합과도 같습니다.

S\subseteq V선형독립(linearly independent)이라는 것은, S의 각 선형결합 c_1v_1+\cdots+c_kv_k에 대해 c_1v_1+\cdots+c_kv_k=0이면 c_1=\cdots=c_k=0가 되는 것을 의미합니다. 이것은, 각 x\in S가 선형결합 c_1v_1+\cdots+c_kv_k으로 표현되는 방법이 유일하다는 것을 의미합니다. (물론, 더하는 순서는 달라질 수 있습니다.)

S\subseteq V가 벡터공간 V기저(basis)라는 것은, S가 선형독립이고 V를 생성함을 의미합니다. 즉, V의 각 원소 x\in V는 S의 선형결합으로 유일하게 표현됨을 의미합니다.

선택공리(axiom of choice)를 이용하면, 모든 벡터공간이 기저를 가짐을 보일 수 있습니다. 물론 기저는 유일하게 결정되지 않습니다. 여러가지 방법으로 기저를 만들 수 있습니다. 그런데 어떤 기저를 선택하든지 기저의 크기(cardinality)는 유일하게 결정됩니다. 이 기저의 크기를 차원(dimension)이라고 부릅니다. 특히, 기저가 유한할 때에는, 벡터공간을 유한 차원(finite dimensional)이라고 부릅니다.

유한 차원 벡터공간은 매우 다루기 쉽습니다. F 위의 n차원 벡터공간은 그저 F^n과 완전히 똑같은 구조를 가지고 있기 때문입니다. 유한 차원 벡터공간 사이의 선형함수행렬(matrix)으로 표현할 수 있습니다. 그 중에서 특히 선형연산자는 정사각행렬로 표현됩니다. 유명한 기본인자형(elementary divisor form, EDF), 불변인자형(invariant factor form, IFF)은 모든 유한차원 선형연산자를 분류합니다.


더 읽을거리:

  1. 유명한 선형대수 책 Hoffman&Kunze – Linear Algebra를 읽어보세요. 선형대수의 기초적인 내용부터 유한차원 선형연산자의 분류까지 재미있는 내용을 담고 있습니다.
  2. 모듈(module) 이론의 관점에서 보면 선형 연산자는 다항식 환 F[x] 위의 모듈으로 생각할 수 있습니다. 주환(principal ring) 위에서의 구조정리(structure theorem)를 이용하면 유한차원 선형연산자를 EDF 혹은 IFF으로 분류할 수 있다는 정리를 보조정리로 쉽게 얻을 수 있습니다. 이에 대한 내용은 Lang의 Algebra의 Modules 단원과 Representation of One Endomorphism 단원에 있습니다.
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