벡터공간(vector space)과 선형함수(linear map)

vector space

벡터공간(vector space)이란 덧셈(addition)과 상수곱(scalar multiplication)이 정의된 집합(V, +, \cdot)으로, 다음을 만족하는 것입니다.

  • 덧셈에 대해 아벨군(abelian group), 즉 교환법칙이 성립하는 군(group)이 됩니다. 
    • 풀어서 설명하자면, v_1, v_2\in V이면 v_1+v_2 = v_2+v_1\in V이며, 모든 v\in V에 대해 v+0=0+v=v가 되는 원소 0\in V가 존재하며, 각 v\in V에 대해 v+(-v)=(-v)+v=0를 만족시키는 역원(inverse) -v\in V가 존재함을 의미합니다.
  • 상수곱은 결합법칙(associative law)과 분배법칙(distributive law)을 만족합니다. 
    • 즉, c_1, c_2가 주어진 체(field) F의 원소라면, 그러니까 c_1, c_2가 상수라면, 각 v\in V에 대해 c_1\cdot(c_2\cdot v)=(c_1c_2)\cdot v이고, c\in F, v_1, v_2\in V이면 c\cdot (v_1+v_2)=c\cdot v_1 + c\cdot v_2임을 의미합니다.
  • 상수 1을 곱하는 함수는 항등함수 (identity function)입니다. 
    • 그러니까, 모든 v\in V에 대해 1\cdot v=v입니다. 이 조건이 없으면 V\neq \{0\}이더라도 상수곱이 항상 0으로 보내는 함수로 정의될 수 있는데, 그런 경우를 생각하지 않기 위해 이 조건이 필요합니다.
    • 참고로, 이 조건을 다르게 표현하면, 상수곱으로 정의되는 함수 F\rightarrow \text{End}(V)가 환 동형사상 (ring homomorphism)이 된다는 것입니다.

(벡터공간의 원소를 벡터(vector)라 부릅니다. 이것은 체의 원소인 상수(scalar)와 구분짓기 위해 사용하는 용어입니다. 위 벡터공간의 정의에서 볼 수 있듯이 벡터공간은 항상 어떤 체 F에 대해서만 정의됩니다. 그래서 필요한 경우에 “체 F 위에서 정의된 벡터공간 V (vector space V over a field F)”와 같은 식으로 어떤 체에 대해 정의된 벡터공간인지 밝혀주기도 합니다.)

(모듈(module)의 언어로는, 벡터공간은 그냥 “체 위의 모듈(module over a field)”입니다. )

사실, 위 정의를 처음 보면 굉장히 복잡하고 추상적으로 느껴질 수 있습니다. 그런데, 그냥 벡터공간을 \mathbb{R}^n을 추상화 한 개념으로 생각하면 직관적으로 이해하기 쉽습니다. 예를 들어, 맨 위에 있는 그림을 보세요. \mathbb{R}^3은 그냥 3차원 유클리드 공간(Euclidean space)입니다. 여기에는 원점이 주어져 있습니다. \mathbb{R}^3은 자연스럽게, \mathbb{R} 위에서 벡터공간이 되며, 이 공간의 부분벡터공간(linear subspace)들은 \mathbb{R}^3 전체, 원점을 지나는 평면, 원점을 지나는 직선, 그리고 원점이 됩니다. 그래서 벡터공간은 기본적으로 “선형으로 생긴 공간”으로 이해할 수 있습니다. (물론, 여기서 부분벡터공간이란 부분집합이면서, 똑같은 덧셈과 상수곱에 대해 벡터공간이 되는 부분집합을 의미합니다.)

선형함수(linear map)는 동일한 체 F 위의 어떤 두 벡터공간 V, W 사이의 함수 f:V\rightarrow W로, 각 v_1, v_2\in V, c_1, c_2\in F에 대해 f(c_1v_2+c_2v_2)=c_1f(v_1)+c_2f(v_2)를 만족하는 함수입니다. 즉, 선형함수는 “선형 관계”를 보존하는 함수입니다. (여기서 cv는 상수곱 c\cdot v을 줄여서 표현한 것입니다.)

가장 간단한 형태의 선형함수 가운데 하나는 \mathbb{R}에서 \mathbb{R}으로 가는 선형함수 f(x) = cx입니다. 물론 여기서 c\in \mathbb{R}은 어떤 상수입니다. 이 함수를 평면에 그래프로 그려보면 직선 그래프가 됩니다. 그래서 이런 함수를 선형함수라고 하는 것입니다. (비슷하게, \mathbb{R}^2에서 \mathbb{R}으로 가는 선형함수는 항상 g(x,y)=c_1x+c_2y의 형태며, \mathbb{R}^3에 그래프로 그려보면 평면이 됩니다.)

어떤 벡터공간에서 자기 자신으로 가는 선형함수를 선형연산자(linear opeator)라 부릅니다. 이런 벡터공간, 선형함수, 선형연산자와 같이 ‘선형인 대수적 구조’를 다루는 학문이 바로 선형대수(Linear Algebra)입니다.


더 읽을거리:

  1. 벡터공간의 가장 기본적인 성질 가운데 하나가 기저를 가지며 차원을 정의할 수 있다는 것입니다. 링크된 ‘기저와 차원’ 문서를 읽어보세요.
Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s