미분(differentiation)

미분(differentiation)은 쉽게 말해서 ‘선형 근사(linear approximation)’입니다. 여기서 ‘선형’이란 점, 직선, 평면 등과 같이 선형대수에서 다루는 선형공간, 즉 벡터공간을 의미하는 것입니다. 예를 들어서, \mathbb{R}에서 \mathbb{R}로 가는 어떤 함수가 주어져 있다고 생각해봅시다. 그 함수의 그래프가 만약 아래의 검은색 그래프와 같이 표현된다면, 표시된 점에서의 미분은 그 점을 지나면서 그 점 주변에서 이 함수를 가장 잘 근사하는 직선을 찾는 것이 바로 미분입니다. 그리고, 이 경우에 그 직선의 기울기를 미분값(derivative)이라 부릅니다.

differentiation

위와 같이 \mathbb{R}에서 \mathbb{R}으로 가는 함수 f가 주어져 있다고 할 때, 만약 점 a에서 기울기가 s인 직선으로 근사한다면 xa 근처일때 f(x)-f(a)\approx s(x-a)가 성립해야 합니다. 즉, |x-a|가 0에 가까워질수록 \displaystyle\frac{f(x)-f(a)}{x-a}s에 가까워져야 합니다. 이게 바로 미분의 정의입니다. 극한을 이용하여 수학적으로 엄밀하게 정의하면 아래와 같습니다.

f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}a에서 미분 가능하다는 것은 \displaystyle \frac{f(x)-f(a)}{x-a}a에서 극한값이 존재한다는 것을 의미합니다. 이때 그 극한값을 fa에서의 미분값이라고 부르고, 보통 f'(a)라고 씁니다.

미분 가능하면 연속입니다. 그런데 연속함수라고 미분 가능한 것은 아닙니다. 예를 들어서 y=|x|은 0에서 미분 불가능합니다. 심지어, 연속함수면서 모든 점에서 미분 불가능한 함수도 존재하는데, 그 예시로 바이어슈트라스 함수가 있습니다. (사실, 연속함수 가운데 ‘대부분’은 이런 함수들입니다. 물론 수학자들이 다루는 함수는 보통 미분 가능한 좋은 함수들이지만요.)

미분을 \mathbb{R^n}에서 \mathbb{R^m}으로 가는 함수로 자연스럽게 확장시킬 수 있습니다. 이 경우에는 선형 근사 함수는 \mathbb{R^n}에서 \mathbb{R^m}으로 가는 선형함수가 됩니다. (이런 선형 함수들은 m\times n 행렬으로 생각할 수 있습니다.) 아까와 마찬가지로 근사식을 써보면, f(x)-f(a)\approx A(x-a) 이런 형태가 되는데, 여기서 A는 m\times n 행렬, x, an\times 1행렬, f(x), f(a)m\times 1행렬입니다. 여기서 xa에 가까워질수록 근사가 정확해져야 하므로 그 때 \displaystyle \frac{|f(x)-f(a)-A(x-a)|}{|x-a|}가 0으로 가까워질 때 미분가능하다고 하고, 미분값을 A라고 합니다.

간단히 미분의 정의에 대해 알아봤는데요, 선형 근사를 하는 이유는 무엇일까요? 몇가지 이유를 들 수 있습니다.

  • 충분히 좋은 함수, 즉 무한 번 미분 가능한 부드러운(smooth) 함수인 경우 테일러 전개(Taylor expansion)로 근사할 수 있습니다. 이를테면 점 a 근처에서 함수 f\displaystyle f(x) = f(a) + f'(a)(x-a)+\frac{1}{2}f''(a)(x-a)^2+\cdots와 같이 테일러 전개로 근사가 가능한데, 더 많은 항을 추가할 수록 더 정확한 근사가 됩니다. 선형 근사는 여기에서 첫 번째 미분 항까지 근사하는 것으로 볼 수 있습니다.
  • 많은 경우 연속성은 충분하지 않습니다. 예를 들어, 기하학에서 사용하고 싶은 ‘좋은’ 함수는 위에서 예로 든 바이어슈트라스 함수처럼 뾰족뾰족하고 다루기 힘든 함수가 아닙니다. 우리가 직관적으로 생각하는 도형들은 표면에 ‘접하는’ 직선이나 평면을 가집니다. 그런 도형들의 ‘부드러움’을 미분가능성이 수학적으로 표현해준다고 생각할 수 있습니다.
  • 미분가능한 도형의 기하학을 다루는 학문을 미분기하학(differential geometry)이라고 합니다. 미분기하학에서 주로 다루는 대상은 우리가 흔히 생각하는 도형을 일반화 한 개념인 미분 다양체(differentiable manifold)이며, 다양체의 표면에 접하는 선이나 평면같은 벡터공간을 접공간(tangent space)이라고 부릅니다. 이런 접공간은 모두 미분으로 정의됩니다.

위에서는 실수에서의 미분에 대해 소개했는데요, 비슷하게 실수가 아닌 복소수에 대해서도 미분을 정의할 수 있습니다. 복소수의 미적분학을 다루는 학문은 복소해석학(complex analysis)이라고 부릅니다. 실수에서의 미적분학은 대개 우리의 직관과 일치합니다. 그런데 복소수에서의 미적분학에서는 직관적으로는 예측하기 힘든, 정말 신기한 일들이 일어납니다. 예를 들어, \mathbb{C}에서 \mathbb{C}로 가는 함수는 한 번 미분 가능하면 무한 번 미분 가능하고 항상 테일러 급수로 표현 가능합니다. 실수에서는 한 번 미분이 되어도 두 번 미분이 되리란 보장이 절대 없다는 것과 상반되는 사실입니다. 또, 미분가능한 복소수 함수는 작은 열린(open) 영역에서 결정되면 전체 복소평면에서 그 함수값을 알 수 있습니다. 즉, 복소수 함수에서의 미분 가능성은 매우 강한 조건이어서 실수에서의 미분 가능한 함수보다 훨씬 자유도가 적습니다.

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