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존스 다항식(Jones polynomial)

존스 다항식(Jones polynomial)은 존스(Vaughan Jones)의 이름이 붙어있는 매듭 불변량 입니다. 존스 다항식은 방향이 있는 매듭에서 정의됩니다. 사실 존스 다항식은 우리가 보통 생각하는 다항식과는 달리 음의 차수를 가지는 항도 포함시키는 로랑 다항식(Laurent polynomial)입니다. (좀 더 정확히 표현하자면, 어떤 매듭 L에 대응되는 존스 다항식 V_L(t)은 \mathbb{Z}[t^{1/2}, t^{-1/2}]의 원소입니다.)

가장 간단하게 존스 다항식을 정의하는 방법은 아마 타래 관계(skein relation)를 이용하여 귀납적으로 정의하는 것일 것입니다. 방향이 있는 매듭에서, 타래 관계란 아래 세 그림과 같이 매듭의 일부를 바꿔서 서로 연관지어지는 관계를 말합니다.

Skein_relation

자명한 매듭(unknot)의 존스 다항식은 1로 정의합니다. 그리고, 위 그림과 같이 타래 관계에 있는 세 매듭에 대해 존스 다항식 사이에 다음과 같은 관계가 있도록 정의합니다.

\displaystyle (t^{1/2}-t^{-1/2})V_{L_0}=t^{-1}V_{L_+}-tV_{L_-}

이 규칙을 사용하면 모든 매듭의 존스 다항식을 계산할 수 있습니다.

존스 다항식이 매듭 불변량인 것은, 존스 다항식이 라이데마이스터 변형에 의해 변하지 않는다는 것을 확인하여 알 수 있습니다. 위 관계식이 자연스럽지 않게 느껴지는 독자도 있을 것입니다. 하지만, 반대로 생각해서, 타래 관계에 있는 세 매듭 L_+, L_-, L_0에 대해 그저 AV_{L_+} + BV_{L_-} + CV_{L_0}으로 두고, 이 식이 라이데마이스터 변형에 의해 불변이 되도록 계수를 결정하면 위와 같은 관계식을 얻을 수 밖에 없다는 것을 확인할 수 있습니다.

참고로, 타래 관계에서 매듭을 거울대칭시키면 t와 t^{-1}의 역할이 바뀐다는 것을 알 수 있습니다. 즉, 어떤 매듭 L에 대해 거울대칭시킨 매듭을 -L이라 한다면, V_{-L}(t) = V_L(t^{-1})입니다.

또, 존스 다항식은 매듭합(knot sum)에 대해 아래와 같이 좋은 성질을 가지고 있습니다.

\displaystyle V_{L_1 \# L_2} = V_{L_1} \cdot V_{L_2}

아무튼 존스 다항식은 매듭 불변량이기 때문에 서로 다른 매듭을 구분해 낼 수 있다는 점에서 유용합니다. 몇 가지 매듭의 예를 들자면,

  • 자명한 매듭 n개가 모여있는 연환의 존스 다항식은 (-t^{1/2}-t^{-1/2})^{n-1}입니다.
  • 세잎매듭(trefoil knot)의 존스 다항식은 t+t^3-t^{4}입니다. (물론 거울대칭된 세잎매듭은 t를 t^{-1}로 바꿔주면 됩니다.)
  • 8자 매듭(figure-8 knot)의 존스 다항식은 t^{-2}-t^{-1}+1-t+t^{2}입니다.
  • 호프 연환(Hopf link)의 존스 다항식은 t^{1/2}+t^{5/2}입니다.

이로부터 세잎매듭은 자명한 매듭이 아니고, 세잎매듭을 거울대칭하면 다른 매듭이 되는 것 등 여러 사실을 알 수 있습니다.

존스 다항식을 일반화할 수도 있는데, 한 가지 예시가 코바노프 호몰로지(Khovanov homology)입니다.

존스 다항식과 관련된 중요한 미해결 문제 가운데 하나가 연결된(connected) 매듭 가운데 존스 다항식이 1이면서 자명한 매듭이 있는지 없는지를 묻는 것입니다. 신기하게도, 여러 연결부분(connected component)으로 이루어진 연환의 경우 존스 다항식이 자명한 경우와 똑같이 되는 예시가 있다고 합니다.[2]

참고:

[1] http://mathworld.wolfram.com/JonesPolynomial.html

[2] http://homepages.math.uic.edu/~kauffman/tj.pdf

더 읽을거리:

  1. 존스가 쓴 존스 다항식에 대한 소개
  2. Colin Adams의 The Knot Book에는 존스 다항식을 괄호 다항식(bracket polynomial)으로부터 정의하는 방법이 설명되어 있습니다.
  3. 에드워드 위튼(Edward Witten)이 존스 다항식과 양자 물리학과의 연관성을 설명해주는 대중강연도 볼만 합니다.

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